ベン図の書き方を数学の苦手な人向けに解説!集合と論理の文系的学習法|論理的思考のコツ⑫

数学の集合・ベン図のカンタン解説、プログラミングの論理論理的思考のコツ・本質講義(国語・英語・長文読解勉強法)

 

今回の記事は、国語や数学といった科目に限らず今のIT時代に必須の知識です。数学的な説明が苦手な方向けに、文系的な言葉の説明&手で書いて感覚的に覚える方針で解説しますので、「数学の説明はワケがわからない」という方にこそ是非とも読んでいただきたいです。
逆に、数学的な説明で理解できる方であれば、他の数学サイトの解説を読んだ方が分かりやすいはずです。

 

国語はロジック論理)です」という主張はすでに繰り返し述べました。

 

では、ここでロジックの基本中の基本となる考え方、習得のコツを簡単に見ていきしょう。

それは、数学で習う集合と論理』です。

ベン図』もその中の一つです。

 

これらの数学的なロジックは、国語でもプログラミング教育(論理演算や条件分岐など)でも重要な考え方の枠組みになるのです。

 

ちなみに一般的な公務員試験でもベン図の問題は出題されます。それだけ一般教養としても重要なのです。IT分野では絶対必須です。

 

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「逆もまた真なり」とは限らないのが論理

 

ベン図の解説に入る前に、先に「要素と集合」が前提知識となります

 

例題

 

まずは、シンプルな例題を考えてみましょう。国語ではなく、現代社会か理科の問題としてあなたの知識で解いてみてください。

 

問題 「温室効果ガスは二酸化炭素である。」この文は正しいか。

 

こんなの、○に決まってるじゃん。

ニュースでもよく言っていますね。

 

答えは×です。

 

また「本文に書いてないから」?でもこれ知識問題って話でしょ?

うーん……問題文に何かひっかけがあるようにも見えないですけど。

ここで重要なのは順序です。

 

①「温室効果ガスは二酸化炭素である。」
②「二酸化炭素は温室効果ガスである。」

 

ん?なんか違うような気がするけどイマイチよく分からない。

ではここでスッキリとシンプル化するために数学のロジックを使ってみましょう。

 

要素と集合を図で書いて整理する

 

細かい話は数学に譲りますので、単純に図を見てみてください。

温室効果ガス 集合図

②「二酸化炭素は温室効果ガスである。」

「二酸化炭素は?」と問われれば、もちろん二酸化炭素は温室効果ガスと言われていますね。(ちなみに二酸化炭素は地球温暖化係数の基準として使われています。)

それ以外の二酸化炭素はありません。どれも同じ温室効果ガスです。

 

①「温室効果ガスは二酸化炭素である。」

「温室効果ガスは?」と問われれば、上の図で一目瞭然、亜酸化窒素もメタンもありえます。

 

つまり、二酸化炭素は温室効果ガスの一部に過ぎないということです。

だからこそ①は×になって②は○になるのです。

 

これが数学で言う「集合と要素」の基本的な考え方です。

ここが分からないとプログラミング学習はほぼ不可能ですので、実際に自分で色々なパターンを書いて練習してみましょう。

 

ABである」と「BAである」は全くの別物です!これは後の記事で解説する因果関係の話でもおなじです。「本文で出てくるワードA・Bと同じだから」で飛びつかないようにしましょう!分かりにくければ図でも矢印でも自分で書いてみましょう。

 

過去記事の補足説明:言い換え問題、抽象化と具体化の論理

 

この段落はややこしい問題ですので読み飛ばしても構いません。

 

以前の記事のなかで言い換え問題についての考え方を軽く説明しました。

 

その時の問題をロジックでカンタンにまとめると、

  • 本文「地球温暖化問題について、よく議論すべきである。」
  • 選択肢「地球温暖化問題について、よく考えることが大切だ。」

果たしてこの選択肢が「本文と同義」と言えるか?という問題です。

 

そこで、

本文にある「よく議論」することって、選択肢の「よく考えること」の中に大きく包括されているとは言えませんか?

(※この考え方は後の記事で詳しく解説します)

というややこしい説明をしました。

 

これがまさに同じような発想です。

言い換え問題 集合図

 

もしこの本文と選択肢が逆、つまり本文が「よく考えるべき」となっているところを選択肢が「よく議論するべき」と置き換えていたとします。

その場合は、本来「考えるべき」に含まれていた「研究する」や「検討する」といった概念まで全てバッサリ切り捨てることになるため、限定し過ぎであると言えます。(「議論する」は「考える」の十分条件)

 

逆に、「議論する」ことは広い意味で「考える」ことに含まれるといえます

よって、選択肢「考える」が本文の記述「議論する」を広い意味で含むため、言い換え可能と考えて正しいと私は判断しました。

(「考える」は「議論する」の必要条件であり、「議論する」と言った時点で「考える」ことになる、という解釈)

 

やや難しい話をすると、『「考える」→「議論する」という、より具体的な概念に具体化する』か『「議論する」→「考える」という、より大きな概念に抽象化する』かの違い、と言えます。これこそが、「具体的な選択肢は誤りが多い」という裏ワザの根拠に繋がる部分です。もちろんそうした裏ワザが通じるのは単なる確率の話であり、選択肢の記述が具体的でもそれが本文の記述内容と合っていれば何も問題ありません
具体的と抽象的の意味を対義語から解説!国語も英語も抽象化の思考がカギ│論理的思考のコツ㉘

 

以前の記事でも述べているように、この手の問題はおそらく択一問題で突き当たる部分だと思います。その際は「どの選択肢のロジックが本文の内容により忠実か」で判断してください。そもそも数式の計算などと違って100%同義の言い換えというのはまず不可能ですので、より本文と同義で、より矛盾の無い選択肢が「最も適切」な解答になります。
ここで、例えば、「~すべきである」と「~することが大切だ」という言い換えは、「議論する」と「考える」といったようなハッキリとした大小関係がなく、「必要がある」という推奨のニュアンスでほぼ同義と言えます。

 

これらのロジックは、記述式において『自分の言葉』で説明するような場合にも考えるべき部分です。あくまでも解答の根拠は本文の記述であり、『自分の言葉』が本文の記述から離れていたり言い過ぎになっていたりすると誤りとなりかねません。だからこそ私が過去記事で強く推奨していたように、ググる習慣(=自分で調べる習慣)をつけてボキャブラリーの引き出しを増やしていくべきです。
『自分の言葉』で言い換えをする際には、『具体例を上げて説明せよ』『抽象化せよ』といったような指示が無い限りは、なるべく元の言葉と同義に近い言い換えほど望ましいです。

 

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ベン図のカンタン解説

 

次に、ベン図をカンタンに説明します。

 

数学的な解説が知りたい人はググってみてください。ここでは数学的な説明ではシックリこない人向けに見方のコツを感覚的に説明してみますので、是非とも一緒に図を手書きして真似してみてください

 

なお、普段ベン図を使う場合は手書きが基本になりますので、その際は当記事のように当てはまらない部分を黒塗りで消すのとは逆に、当てはまる領域を斜線ストライプで塗りつぶすのが一般的です。

 

まずは具体例からベン図を考える

 

ベン図の考え方の基本を理解するために、まずは身近なものを分類してみる。そして、図の使い方を身につける。(そこから必要に応じて教科書的な知識に置き換えていく)

 

それでは例題です。条件文をバラ撒きますので考えてみてください。

【例題】

  • 魔理沙、アリス、パチュリーは魔法使いである。
  • 霊夢、魔理沙、咲夜は人間である。
  • 紫、レミリア、アリス、パチュリーは人間ではない。
  • 霊夢、咲夜、紫、レミリアは魔法使いではない。
  • 人間でないものは長命である。

問1 「魔法使いは魔理沙である。」は正しいか
問2 「人間ではない」または「魔法使い」である者を全て挙げよ
問3 「魔法使いは長命である。」は正しいか
問4 「魔法使いであり人間ではない者は必ず長命である」は正しいか

 

頭がこんがらがってきました。

(凄く見覚えのある名前だ……)

このような雑多な情報を分類整理してスッキリとビジュアライズするのがベン図なのです。

 

なお、ここで出てきている「魔理沙」や「アリス」といった固有名詞は単なる記号と同じです。ここがただのA・B・Cになっても話は同じです。

この例題は、ベン図を理解している人であれば機械的・形式的に解ける問題になっています。

 

ベン図がどうしても苦手な人にとっての第一歩は、とにかく真似して手で書くことです。最初はワケが分からなくても構いませんので、手書きしましょう

 

ベン図を実際に書いて「分類」する

 

ベン図の書き方のコツは「大きな共通点」でくくる=分類すること

 

「ベン図を見てもよくわからない」という方は、いきなり円の重なり合ったベン図を見ているケースが多いです。ですが、あの形はあくまでも集合の応用です

 

そのような方は、まずは「その集合がいったい何の集合なのか」というラベルごとに物事を分けるのが先決です。言い換えると、「共通点は何か」ということです。

 

それでは、この条件文のなかで「大きな共通点」は何があるでしょうか?

なんか「人間」と「魔法使い」ってのがいっぱい出てる。

その捉え方で良いです。では、設問を考える前に図に書いてみましょう

 

ベン図

 

まず最初に書くのは円の中身です。よく分からないうちはまずは円を1つずつバラバラに書いてみましょう。その円に共通点=分類をラベル付けします。ここでは「人間」と「魔法使い」です。

 

ここでやっていることは先ほどの温室効果ガスの円と同じ話です。

まずは「人間」のラベルに入る人を集めます。次に、「魔法使い」のラベルに入る人を集めます。そしてどちらにも入らなかった残りの人は外に書きます

つまり、ラベルを中心に考えて分類するということです。

 

レミリアさんと紫さんはどっちにも入ってないから「人間でも魔法使いでもない」ってことですね。アリスさんは魔法使いだけど人間ではないってことでしょうか。

魔理沙がどっちにも入ってるぜ。

その両方の円に入ってる部分を重ねることでベン図の完全版になるのです。二つの円をそのまま真ん中に寄せて重ねるイメージです。

 

ベン図

これで完成です。あとは感覚的に見方を身につけましょう。そのための図示なのです。

気をつけるべき部分は円が重なったパープル部分の魔理沙です。この重なり部分は「人間」の「魔法使い」であるということになります。

 

ベン図を目で見て視覚的に使う

 

では、ベン図を使って例題を問いていきましょう。

 

問1 「魔法使いは魔理沙である。」は正しいか

 

これは記事前半の復習になる問題ですが、ベン図で確認してみます。

ベン図

 

「魔法使い」の円にはアリスさんパチュリーさんもいるから×ですね!

正解です!「魔理沙は魔法使い」は成り立っても、「魔法使いは魔理沙」とは限らないということですね。

 

問2 「人間ではない」または「魔法使い」である者を全て挙げよ

 

ん?「または」?

この「または」というのが実は数学的な用語なのですが、まずは「人間ではない」と「魔法使い」というのがそれぞれベン図のどの部分に当たるか考えてみてください。

ベン図

 

「人間ではない」って、あれ?円の外にいるのは紫とレミリアだけ?

(元ネタではアリスもパチュリーも人間じゃないのに)

円の見方が違うわ、ブルーの部分「魔法使い」の円の中にはあるけど、「人間」の円には入ってないから「魔法使いだけど人間じゃない」ってことになるのよ。

だからブルーイエローの両方が「人間じゃない」ってこと

※「人間」の円はレッドパープルの部分で構成されており、ブルーは入っていない。

円がどのような重なり方になっているかに注意してください。

 

では、それぞれの部分が何を意味しているのかについて整理してみます。

  • レッド(霊夢・咲夜):「人間」かつ「魔法使いではない」
  • パープル(魔理沙):「人間」かつ「魔法使い」
  • ブルー(アリス・パチュリー):「人間ではない」かつ「魔法使い」
  • イエロー(紫・レミリア):「人間ではない」かつ「魔法使いではない」

※「かつ」というのは、「AとBの両方の条件に当てはまる」ということです。

 

まずはこれを視覚的につかめるようになることが第一です。ここがイマイチつかめなければ、画像を見ず1から自分の手で書いてみてください。

 

ベン図

……「人間ではない」部分は図でいうとこういうことになるから、アリス・パチュリー(ブルー)紫・レミリア(イエロー)になるのよ。「人間」の円の外なら全員「人間ではない」ってだけ。

 

そーなのかー。で「魔法使い」ってのはただ「魔法使い」の円の中を見ればいいってことだから……魔理沙(パープル)アリス・パチュリー(ブルー)だ。(三魔女だから正しいな)

ベン図

 

そのとおりです!

 

「かつ」と「または」の数学的な意味をカンタンに

 

問2 「人間ではない」または「魔法使い」である者を全て挙げよ

 

でも、「または」ってついてるのがよくわかんないなあ

 

では、国語的に「または」ってどういう意味ですか?

ん~「どっちでもオッケー」ってこと?

そうです。ただそれだけの話です。では「人間ではない」と「魔法使い」、どっちでもオッケーなのはベン図ではどの部分になりますか?

ベン図

  • 「人間ではない」=アリス・パチュリー(ブルー)紫・レミリア(イエロー)
  • 「魔法使い」=魔理沙(パープル)アリス・パチュリー(ブルー)

 

じゃあアリス・パチュリー(ブルー)紫・レミリア(イエロー)、魔理沙(パープル)だ。どっちでもオッケーってことはどっちかにヒットしてればオッケーってことだよね?

ベン図

正解です!これらは実際に自分で図を書いて「ココとココとココだな」と確認して下さい。

答え:アリスパチュリーレミリア魔理沙

 

『「人間ではない」または「魔法使い」』というのを数学的に表したのがĀ∪Bです。逆にĀ∪Bの否定が霊夢・咲夜(レッド)になるのは『ベン図から明白』です。「人間」かつ「魔法使いではない」)つまり、ベン図の選択範囲を反転させてるだけです。
これがド・モルガンの法則を理解するコツにもなります。

 

では問題が「人間ではない」かつ「魔法使い」となっていたらどうなりますか?

 

かつ」っていうのが、両方当てはまるということでしたよね。

または」っていうのは「AとBのどっちでもオッケー」で、「かつ」は「AもBもどっちにも当てはまる」という違いで良いですか?

そうです。つまり「Ā:人間ではない」も「B:魔法使い」も両方当てはまるのは誰?ということです。

 

じゃあアリス・パチュリー(ブルー)だ。

妖怪組で魔法使いだから。

 

なお、数学的には「Aではない」ことを「Aの否定」と呼び、「Ā」と書きますが、図で言うとただAの円の外というだけの話です。

 

ベン図の分類と紐付ける

 

問3 「魔法使いは長命である。」は正しいか

 

では、まず「長命」というのは問題文のどこで出てきましたか?

条件文の「人間でないものは長命である。」これですね。

では、「人間でない」ものというのはベン図のどの部分ですか?

ベン図

 

アリス・パチュリー(ブルー)紫・レミリア(イエロー)ですね。

ということは、アリス・パチュリー(ブルー)紫・レミリア(イエロー)がそのまま「長命」になるってことですか?

ベン図

 

そういうことです。「人間ではない」の部分がそのまま「長命」の部分になるということですね。

では問いの「魔法使い長命である。」っていうのは正しいですか?

「魔法使い」ってのは図の魔理沙(パープル)アリス・パチュリー(ブルー)になるから……魔理沙(パープル)が外れてますね!だから×

 

この問題は、分類の発想が頭にないと考えるのが難しいです。例えば、対比構造が問題に絡んできたとしましょう。対比構造とは、まず最初に物事をA対Bに分けて、たとえば「AはCである」「BはDである」とそれぞれ説明して比較するような構造のことです。AとBの分類・紐付けさえ正しくできていれば、選択肢が「AはDである」「BはCである」と入れ違っていれば誤りであると論理的に判断することができます。これは感覚だけでは判断が困難な部分です。(対比構造については別記事で詳しく解説します。)

 

『「必ず」は言い過ぎだから誤り』は間違い

 

それでは最後の問題です。

 

問4 「魔法使いであり人間ではない者は必ず長命である」は正しいか

 

あ!「必ず」って書いてある選択肢は言い過ぎだから×

はい引っかかりました。

小手先の裏ワザで解くのはサイコロを振ってるのと同じです。

 

えー、でも大抵は×じゃない?

試験中にどうしても分からなくて鉛筆転がしに頼らざるを得ない状況では好きに使っても良いです。現実的な時間制限もありますので。合理的な学習メソッドで着実に能力そのものを伸ばしたいと考えている人は、練習段階で裏ワザ的な発想に手を出すべきではありません。

裏ワザの練習をしても裏ワザの使い方しか分からないですね。

本当に裏ワザの練習をして高得点が取れるならそれもまた戦略ですけどね。私の経験上では、有効な戦略とは思いません。

 

どのような試験でも言えることですが、『極端な言い回しを使った選択肢は間違い』『具体的な選択肢は間違い』というような形式的な発想で演習を繰り返しても本質的な論理力の訓練にはなりません。物事の本質レベルからの理解を目標とする当ブログとしましては、まずは正攻法で能力自体を成長させて自力で出来る問題を増やしていき、それでも最終的に試験会場で手に負えない問題はバランス感覚で答えるような方針をオススメします。

 

※数学の場合は逆に答えを導き出せるなら背理法でも大学レベルの公式でも何でもアリだと思います。ただし、中途半端に手を出すと暗記間違えや本来は適用できない場面で使うといった判断ミスも多々あり、結局は近道になりません。学習段階では2次試験の論証でも使える正攻法の解法から固めていった方が無難だと思います。ちなみに私は正攻法の解法パターン暗記のみでセンター数学は9割超えています。

 

論理で解答の筋道を立てる

 

……話を戻します。

「魔法使いであり人間ではない者は必ず長命である」

ではベン図でいうとどの部分が問われてるでしょうか?

ベン図

 

 

「魔法使い」の丸の中で……「人間」の外だから……

アリス・パチュリーになります!

ベン図

慣れるとそうやってベン図を視覚的に使えます

では、「アリス・パチュリーは必ず長命」ですか?

そうそう!この中だと紫・レミリアアリス・パチュリーが妖怪組だから寿命がメッチャ長いんだ!だから

そのとおりです。

 

こうして、センス頼りで何となく分別していたものが明確に論理的に分類されるのです。

 

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集合の3つの円のパターンは2つ円の延長に過ぎない

 

ここまでの話が理解できれば、円が3つになるパターンもその延長です。

 

まずは①円の外の領域、②円が1つの領域、③円が2つ重なってる領域、④円が3つ重なってる領域、という4つの視点を理解することです。

例えば上図で言えば、紫の部分は「国語」と「数学」の円が重なった領域ですが、一方で「IT」の円からは外れています

対して、中央の灰色の部分は3つの円が全て重なっているので、「国語」「数学」「IT」の3つに共通する要素である、というだけの話です。

 

こうした見方は、まさにグラフィック的な感覚で捉えるものです。

要するに、「あっ、3つの円があってそれらが重なり合ってるんだ!」と視覚的に掴めるか、ということです。

 

いきなりベン図の完成形から見てもイメージが付きにくいかも知れませんので、まずは単円それぞれの集合を意識することが第一です。

上図で言えば、「国語」「数学」「IT」の3つは元々バラバラの単円であり、それを重ね合わせたのがベン図である、ということです。

 

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まとめ

 

まとめにかえて、ベン図は「単なる数学の問題の一つ」に留まるものではありません。

 

IT・プログラミング教育でも必須の「or条件・and条件・否定」の組み合わせも、ベン図で実際に書いて考えれば理解できます。複雑な問題を論理式で解いていく前に、まずはベン図による基本概念を先に理解する方が良いと思います。

 

国語では、「問題文の条件A」と「本文の記述B」が論理的に合っているか判断することが正誤問題の基本であると言えます。

特に言葉の定義や要素の部分で問題になってくる場面が多くなると思いますが、単円のパターンだけでも良いので円の内か外かのイメージで判別していくとわかりやすくなると思います。

『定義』については超重要な概念ですので次の記事で説明します。

 

おまけ①:違う分類で練習

ベン図 ドラゴンボール

おまけ②:階層構造を円で図示した例(詳しくは後の記事⑮で)

文章構造の図解 文章―意味段落―形式段落―文―語彙・漢字 マクロからミクロへ

 

図解は試験のための情報整理にとどまらず、大学生・社会人としてのプレゼンでも思考整理でも重要な能力です。是非とも実際に自分で書きながら身につけましょう

 

私の本心としましては、文系志願者でも高校数学は捨てずに頑張っていただきたいです。微積の考え方は経済系の初歩レベルでも必須ですし、物理学でしか使われないと思われがちなベクトルですらプログラミングに役立ちます。
数学それ自体を専門にしなくとも、数学的思考は随所で使われます

 

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定義とは、言葉の意味の共通認識!数学の定理と違い筆者が定義づける|論理的思考のコツ⑬
「~とは~である」で表される『定義』とは、言葉の意味を明確にすることです。国語や英語の長文読解問題での筆者自身の定義付けは、筆者の主張・考えに直結するからこそ大切です。 また、これらは共通認識、相互理解、コミュニケーションの齟齬にも関わる重要論点です。 その他、討論や小論文に役立つ考察として、数学の定理と定義の違い、文系学問特有の難しさ、法学における法律用語の定義の考え方、『壁ドン』の具体例などから解説します。

数学の勉強法全般についての解説はコチラ

 

※連載シリーズ①「論理的思考のコツ・本質講義」→ 各話リスト

※連載シリーズ②「効率的な勉強法・教育法」→ 各話リスト

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