ベン図のカンタン解説
次に、ベン図をカンタンに説明します。
数学的な解説が知りたい人はググってみてください。ここでは数学的な説明ではシックリこない人向けに感覚的に見方のコツを説明してみますので、是非とも一緒に図を手書きして真似してみてください。
まずは具体例からベン図を考える
それでは例題です。条件文をバラ撒きますので考えてみてください。
【例題】
- ピカチュウ、キティ、マリオは日本生まれである。（作品的な意味で）
- バットマン、白雪姫、マリオは人間である。
- ムーミン、ミッキー、ピカチュウ、キティは人間ではない。
- バットマン、白雪姫、ムーミン、ミッキーは日本生まれではない。
- 人間でないものは尻尾が生えている。
問１ 「日本生まれはマリオである。」は正しいか
問２ 「人間ではない」または「日本生まれ」である者を全て挙げよ
問３ 「日本生まれならば尻尾が生えている。」は正しいか
問４ 「日本生まれであり人間ではない者は必ず尻尾が生えている」は正しいか
頭がこんがらがってきました。
（凄く見覚えのある名前だ……）
このような雑多な情報を分類整理してスッキリとビジュアライズするのがベン図なのです。
なお、ここで出てきている「マリオ」や「キティ」といった固有名詞は単なる記号と同じです。ここがただのA・B・Cになっても話は同じです。
この例題は、ベン図を理解している人であれば機械的・形式的に解ける問題になっています。
ベン図を実際に書いて「分類」する
「ベン図を見てもよくわからない」という方は、いきなり2つの円の重なり合ったベン図を見ているというケースが多いように見受けられます。ですが、あのベン図の形はあくまでも1ページ目で解説した集合の応用です。
そのような方は、まずは「その集合がいったい何の集合なのか」とラベルごとに物事を分けるのが先決です。言い換えると、「共通点で括れそうなポイントは何か」ということです。
それでは、この条件文のなかで「大きな共通点」は何があるでしょうか？
なんか「人間」と「日本生まれ」ってのがいっぱい出てる。
その捉え方で良いです。では、設問を考える前に図に書いてみましょう
※「日本発」と表記しているのは、字数に収めるためです。
まず最初に書くのは円の中身です。よく分からないうちはまずは円を１つずつバラバラに書いてみましょう。その円に共通点＝分類をラベル付けします。ここでは「人間」と「日本生まれ」です。
ここでやっていることは先ほどの温室効果ガスの円と同じような話です。
まずは「人間」のラベルに入る人（バットマン、白雪姫、マリオ）を集めます。次に、「日本生まれ」のラベルに入る人（ピカチュウ、キティ、マリオ）を集めます。
そしてどちらにも入らなかった残りの人（ミッキー、ムーミン）は外に書きます。
つまり、ラベルを個別に考えて分類するということです。
ミッキーさんとムーミンさんはどっちにも入ってないから「人間でも日本生まれでもない」ってことですね。ピカチュウやキティは日本生まれだけど人間ではないってことでしょうか。
※ミッキーはアメリカ発の不思議生物、ムーミンはフィンランド発の不思議生物。なおムーミン谷はフィンランドではなく幻想の世界にある。白雪姫はドイツのメルヒェン。
マリオがどっちにも入ってるぜ。マンマミーア。
その両方の円に入ってる部分を重ねることでベン図の完全版になります。二つの円をそのまま真ん中に寄せて重ねるイメージです。
※先程の円を「人間→マリオ←日本発」と重ね合わせるイメージ。
これで完成です。あとは感覚的に見方を身につけましょう。そのための図示なのです。
気をつけるべき部分は円が重なったパープル部分のマリオです。この重なり部分は「人間」で「日本生まれ」であるということになります。
ベン図を目で見て視覚的に使う例題
では、ベン図を使って例題を問いていきましょう。
これは1ページ目の復習になる問題ですが、ベン図で確認してみます。
「日本発」の円にはピカチュウもキティもいるから×ですね！
正解です！「マリオは日本生まれ」は正しくても、逆に「日本生まれはマリオ」とは限らないということですね。
「①マリオ（の作品）はどの国から生まれましたか？」「②日本生まれのキャラクターを思いつくだけ挙げてみてください。」
①の答えは日本（任天堂）で決まりますが、②はマリオ以外にいくらでも当てはまります。
ん？「または」？
この「または」というのが実は数学的な用語なのですが、まずは「人間ではない」と「日本生まれ」というのがそれぞれベン図のどの部分に当たるか片方ずつ考えてみてください。
「人間ではない」って、あれ？円の外にいるのはミッキーとムーミンだけ？（ピカ様もキティ様も人外じゃ？）
円の見方が違うわ、ブルーの部分は「日本生まれ」の円の中にはあるけど、「人間」の円からは外れてるから「日本生まれだけど人間じゃない」ってことになるの。
だからブルーとイエローの両方が「人間じゃない」ってこと
※「人間」の円はレッドとパープルの部分で構成されており、ブルーは入っていない。
円がどのような重なり方になっているかに注意してください。
ここで、ベン図のそれぞれの部分が何を意味しているのかについて整理してみます。
- レッド（バットマン・白雪姫）：「人間」かつ「日本生まれではない」
- パープル（マリオ）：「人間」かつ「日本生まれ」
- ブルー（ピカチュウ・キティ）：「人間ではない」かつ「日本生まれ」
- イエロー（ミッキー・ムーミン）：「人間ではない」かつ「日本生まれではない」
※「かつ」というのは、「AとBの両方の条件に当てはまる」ということです。
まずはこれを視覚的につかめるようになることが第一です。ここがイマイチつかめなければ、画像を見ずに１から自分の手で書いてみてください。
……「人間ではない」部分は図で言うと↑こういうことになるから、ピカチュウ・キティ（ブルー）とミッキー・ムーミン（イエロー）になるのよ。「人間」の円の外なら全員「人間ではない」ってだけ。
そーなのかー。で「日本生まれ」ってのはただ「日本生まれ」の円の中を見ればいいってことだから……マリオ（パープル）とピカチュウ・キティ（ブルー）だ。てか、クールジャパンの3大巨頭だ。
そのとおりです！
「かつ」と「または」の数学的な意味をカンタンに
……と、ここまでの話は問2の前半部でした。
でも、「または」ってついてるのがよくわかんないなあ
では、普通の日本語で「または」とはどういう意味ですか？
ん～「どっちでもオッケー」ってこと？
そうです。ただそれだけの話です。では「人間ではない」と「日本生まれ」のどっちでもオッケーなのはベン図ではどの部分ですか？
- 「人間ではない」＝ピカチュウ・キティ（ブルー）とミッキー・ムーミン（イエロー）
- 「日本生まれ」＝マリオ（パープル）とピカチュウ・キティ（ブルー）
じゃあピカチュウ・キティ（ブルー）とミッキー・ムーミン（イエロー）、マリオ（パープル）だ。どっちでもオッケーってことはどっちかにヒットしてれば全部ってことだよね？
正解です！これらは実際に自分で図を書いて「ココとココとココだな」と確認して下さい。
答え：ピカチュウ、キティ、ミッキー、ムーミン、マリオ
これがド・モルガンの法則を理解するコツにもなります。（「人間」かつ「日本生まれではない」）
では問題が『「人間ではない」かつ「日本生まれ」』となっていたらどうなりますか？
「かつ」っていうのが、両方当てはまるということでしたよね。
「または」っていうのは「AとBのどっちでもオッケー」で、「かつ」は「AもBもどっちにも当てはまる」という違いで良いですか？
そうです。つまり「Ā:人間ではない」も「B:日本生まれ」も両方当てはまるのは誰？ということです。
じゃあピカチュウ・キティ（ブルー）だ。
B：日本が誇る Ā：不思議生物 だから。
ベン図の分類と紐付ける
では、まず「尻尾が生えている」というのは問題文のどこで出てきましたか？
条件文の「人間でないものは尻尾が生えている。」これですね。
では、その「人間でないもの」というのはベン図のどの部分ですか？
ピカチュウ・キティ（ブルー）とミッキー・ムーミン（イエロー）ですね。
ということは、ピカチュウ・キティ（ブルー）とミッキー・ムーミン（イエロー）がそのまま「尻尾が生えている」ってことですか？
そういうことです。ベン図で「人間ではない」に当たる部分がそのまま「尻尾が生えている」にもなる、ということですね。
では問いの「日本生まれならば尻尾が生えている」というのは正しいですか？
「日本生まれ」ってのは図のマリオ（パープル）とピカチュウ・キティ（ブルー）になるから……マリオ（パープル）が外れてますね！だから×！
てか、ムーミンもキティもピカチュウもミッキーもみんな都合よく尻尾が生えてたんだな。
そこは……作問の都合ということで忖度してください。
『「必ず」は言い過ぎだから誤り』は間違い
それでは最後の問題です。
あ！「必ず」って書いてある選択肢は言い過ぎだから×！
はい、引っかかりました。
小手先の裏ワザで解くのはサイコロを振ってるのと同じです。
えー、でも大抵は×じゃない？
試験中にどうしても分からなくて鉛筆転がしに頼らざるを得ない状況なら好きに使っても良いです。現実的な時間制限もありますので。合理的な学習メソッドで着実に能力そのものを伸ばしたいと考えている人は、練習段階で裏ワザ的な発想に手を出すべきではありません。
裏ワザの練習をしても裏ワザの使い方しか分からないですね。
本当に裏ワザの練習をして高得点が取れるならそれもまた戦略ですけどね。私の経験上では、有効な学習方針とは思いません。
論理で解答の筋道を立てるということ
……話を戻します。
「日本生まれであり人間ではない者は必ず尻尾が生えている」というのは、ベン図で見るとどの部分が問われてるでしょうか？
「日本生まれ」の円の中で「人間」の外だから……
ピカチュウ・キティになります！
慣れるとそうやってベン図を視覚的に使えます。
では、「ピカチュウ・キティは必ず尻尾が生えて」いますか？
……てかコレ、さっきの尻尾生えてる4人から更にメンツを絞ってるだけだから○に決まってるじゃねえか！
そのとおりです。
集合の3つの円のパターンは2つ円の延長に過ぎない
ここまでの話が理解できれば、円が３つになるパターンもその延長です。
まずは①円の外の領域、②円が1つの領域、③円が2つ重なってる領域、④円が3つ重なってる領域、という4つの視点を理解することです。
例えば上図で言えば、紫の部分は「国語」と「数学」の円が重なった領域ですが、一方で「IT」の円からは外れています。
例えば、「大学の受験科目」がこの紫の部分に当てはまることと思います。
対して、中央の灰色の部分は3つの円が全て重なっているので、「国語」「数学」「IT」の3つに共通する要素である、というだけの話です。
例えば、「論理的思考力」はまさしく共通して当てはまります。また、先程は紫の部分だった「大学受験科目」も、ITが受験に導入されたならばこの中央の領域になってきます。
こうした見方は、まさにグラフィック的な感覚で捉えるものです。
要するに、「あっ、3つの円があってそれらが重なり合ってるんだ！」と視覚的に掴めるか、ということです。
いきなりベン図の完成形から見てもイメージが付きにくいかも知れませんので、まずは単円それぞれの集合を意識することが第一です。
※上図で言えば、「国語」「数学」「IT」の3つは元々バラバラの単円であり、それを重ね合わせたのがベン図である、ということです。
まとめ
まとめにかえて、ベン図は「単なる数学の問題の一つ」に留まるものではありません。
IT・プログラミング教育でも必須の「or条件・and条件・否定」の組み合わせも、ベン図で実際に書いて考えれば理解できます。複雑な問題を論理式で解いていく前に、まずはベン図による基本概念を先に理解する方が良いと思います。
国語では、「問題文の条件A」と「本文の記述B」が論理的に合っているか判断することが正誤問題の基本であると言えます。
特に言葉の定義や要素の部分で問題になってくる場面が多くなると思いますが、単円のパターンだけでも良いので円の内か外かのイメージで判別していくとわかりやすくなると思います。
『定義』については超重要な概念ですので次の記事で説明します。
おまけ①：違う分類で練習
おまけ②：階層構造を円で図示した例（詳しくは後の記事⑮で）
図解は試験のための情報整理にとどまらず、大学生・社会人としてのプレゼンでも思考整理でも重要な能力です。是非とも実際に自分で書きながら身につけましょう。
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※数学の勉強法全般についての解説はコチラ
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